第七步，操纵推论8可得：(2n)!/(n!n!)≤Πp≤√2n ps(p)・Π√2n<p≤2n/3 p ≤Πp≤√2n ps(p)・Πp≤2n/3 p！
如许的话，固然拐了个弯，看似比切比雪夫的体例还要费事很多。但在真正的成果出来之前，谁也不敢百分百就如许说。
第九步，(2n)!/(n!n!)是(1+1)2n 展开式中最大的一项，而该展开式共有 2n 项(我们将首末两项 1 归并为 2)，是以(2n)!/(n!n!)≥ 22n / 2n = 4n / 2n。两端取对数并进一步化简可得：√2n ln4 < 3 ln(2n)。
………………
关于两个引理的应用，程诺有他本身独到的观点。
程诺当然不能这么做。
翌日，又是阳光亮媚，春暖花开的一天。
一行行，一列列。
搞！搞！搞！
至此，可申明， Bertrand 假定建立。
比及早晨十点闭馆的时候，程诺才背着书包依依不舍的分开。
日期是三月初，方传授给程诺的一个月假期还剩十多天的时候。
但程诺现在当时不是要寻觅反例，证明Bertrand 假定不建立。
除了上课，程诺一整天都泡在图书馆里。
啪啪啪~~
程诺又充足的时候去浪……哦，不，是去完美他的毕业论文。
程诺感觉还是应当尝试一下。
……………………
影响因子5.21，即便在一区的诸多闻名学术杂志中，都属于中等偏上的程度。
…………
这个时候，程诺不得不再次筹办开启修仙大法。
由此，得推论2：【设 n ≥ 3 为一天然数， p 为一素数， s 为能整除(2n)!/(n!n!)的 p 的最高幂次，则：(a) ps ≤ 2n；(b)若 p >√2n，则 s ≤ 1；(c)若 2n/3 < p ≤ n，则 s = 0。】
颠末一夜的思虑，猜疑程诺终究对本身的毕业论文有了新的思路。
随后，便是低头持续苦逼的列着证明公式。
低着头，他列下一行行算式。
第一步，用反证法，假定命题不建立，即存在某个 n ≥ 2，在 n 与 2n 之间没有素数。
切尔雪夫在证明Bertrand 假定时，采纳的计划是直接停止已知定理停止硬性推导，涓滴没有任何技能性可言。
以是，这天白日的课一结束，程诺便仓促赶到图书馆，随便挑了一个没人的位置，拿出纸笔，考证本身的设法。
第八步，因为乘积中的第一组的被乘因子数量为√2n 以内的素数数量，即未几于√2n/2 - 1 (因偶数及 1 不是素数)……由此获得：(2n)!/(n!n!)<(2n)√2n/2-1 ・ 42n/3。
并且完工的时候，比程诺料想的要早了整整一半时候。
而修仙神器，“肾宝”，程诺也早已筹办结束。
而在他手中拿着的草稿纸上，已经密密麻麻的列着十几个推论。
明天程诺的事情，就是从这十几个推论中，寻觅出对Bertrand 假定证明事情有效的推论。
连程诺本人，都惊奇了好一阵。
【设 m 为满足 pm ≤ 2n 的最大天然数，则明显对于 i > m， floor(2n/pi)- 2floor(n/pi)= 0 - 0 = 0，乞降止于 i = m，总计 m 项。因为 floor(2x)- 2floor(x)≤ 1，是以这 m 项中的每一项不是 0 就是 1……】