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研讨这个函数Φ(x)的性子:1、定义函数Φ(x)=x(上限)∫a(下限)f(t)dt，则Φ与格林公式和高斯公式的联络
因而有Φ(x)f(a)=f(x)，当x=b时，Φ(b)=f(b)-f(a),
公式这个公式能表白路程s是每个分歧速率时候行驶的时候和当前速率乘积的和。牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联络了起来，也让定积分的运算有了一个完美、令人对劲的体例。上面就是该公式的证明全过程:对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:
'(x)=f(x)。
折叠地区的鸿沟曲线的正向规定：设是平面地区的鸿沟曲线,规定的正向为:当察看者沿的这个方向行走时,平面地区(也就是上面的d)内位于他四周的那一部分总在他的左边。简言之:地区的鸿沟曲线的正向应合适前提:人沿曲线走,地区在左边，人走的方向就曲直线的正向。
详细先容
现在我们把积分区间的上限作为一个变量，如许我们就定义了一个新的函数:
Φ(x)=x∫a*f(x)dx
格林公式
但是这里x呈现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，如许意义就非常清楚了:
高斯定理，静电场的根基方程之一，它给出了电场强度在肆意封闭曲面上的面积分和包抄在封闭曲面内的总电量之间的干系。
根基先容：在平面地区上的二重积分也能够通过沿地区的鸿沟曲线上的曲线积分来表示。
注:c(k,n)=n!/(k!(n-k)!)^代表前面括号及此中内容为上标，求xx阶导数
b∫a*f(x)dx
【定理】设开地区是一个单连通域,函数,在内具有一阶持续偏导数,则在内曲线积分与途径无关的充分需求前提是等式在内恒建立.证明:先证充分性在内任取一条闭曲线,因单连通,故闭曲线所围成的地区全数在内.从而在上恒建立.由格林公式,有依定义二,在内曲线积分与途径无关.再证需求性(采取反证法)假定在内等式不恒建立,那么内起码存在一点,使无妨设因为在内持续,在内存在一个觉得圆心,半径充分小的圆域,使得在上恒有由格林公式及二重积分性子有这里是的正向鸿沟曲线,是的面积.这与内肆意闭曲线上的曲线积分为零的前提相冲突.故在内等式应恒建立.说明:定理所需求的两个前提缺一不成.【反例】会商,此中是包抄原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的.这里撤除原点外,在所围成的地区内存在,持续,且.在内,作一半径充分小的圆周在由与所围成的复连通域内利用格林公式有
(1)∮cp(x,y)dxq(x,y)dy=∫∫d(dq/dx-dp/dy)dxdy
折叠曲线积分与途径无关的前提
电场强度e在肆意面积上的面积分
ΔΦ=Φ(xΔx)-Φ(x)=xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
称为电场强度对该面积的通量。按照库仑定律能够证明电场强度对肆意封闭曲面的通量反比于该封闭曲面内电荷的代数和，(1)