因而有Φ(x)f(a)=f(x)，当x=b时，Φ(b)=f(b)-f(a),
相干先容：对坐标的曲线积分与途径无关的定义
高斯公式
高斯定理定义：通过肆意闭合曲面的电通量即是该闭合曲面所包抄的统统电荷量的代数和与电常数之比。利用学科：电力（一级学科）；通论（二级学科）
而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，以是b(上限)∫a(下限)f(t)dt=f(b)-f(a)
但是这里x呈现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，如许意义就非常清楚了:
而ΔΦ=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)Δx(ξ在x与xΔx之间，可由定积分中的中值定理推得，当Δx趋势于0也就是ΔΦ趋势于0时，ξ趋势于x，f(ξ)趋势于f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)
高阶导数莱布尼兹公式
【定理】设开地区是一个单连通域,函数,在内具有一阶持续偏导数,则在内曲线积分与途径无关的充分需求前提是等式在内恒建立.证明:先证充分性在内任取一条闭曲线,因单连通,故闭曲线所围成的地区全数在内.从而在上恒建立.由格林公式,有依定义二,在内曲线积分与途径无关.再证需求性(采取反证法)假定在内等式不恒建立,那么内起码存在一点,使无妨设因为在内持续,在内存在一个觉得圆心,半径充分小的圆域,使得在上恒有由格林公式及二重积分性子有这里是的正向鸿沟曲线,是的面积.这与内肆意闭曲线上的曲线积分为零的前提相冲突.故在内等式应恒建立.说明:定理所需求的两个前提缺一不成.【反例】会商,此中是包抄原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的.这里撤除原点外,在所围成的地区内存在,持续,且.在内,作一半径充分小的圆周在由与所围成的复连通域内利用格林公式有
'(x)=f(x)。
公式(1)叫做格林公式.
折叠格林公式：【定理】设闭地区由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶持续偏导数,则有
Φ(x)=x∫a*f(x)dx
格林公式
另一方面,据对坐标的曲线积分性子与计算法有
明显，xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt
折叠高斯定理:矢量阐发的首要定理之一。穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包抄的电荷量成反比。换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包抄的电荷量成反比因为磁力线老是闭合曲线，是以任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必然会从曲面内部出来，不然这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为□□线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么便能够获得通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律近似于电场中的高斯定理，是以也称为高斯定理
注:c(k,n)=n!/(k!(n-k)!)^代表前面括号及此中内容为上标，求xx阶导数